切比雪夫多项式英文解释翻译、切比雪夫多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Chebyshev polynomia

分词翻译：

切比雪夫的英语翻译：

【计】 Chebyshev norm

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）是一类在数学、物理及工程领域（特别是逼近论、数值分析和信号处理）具有重要应用的正交多项式。其名称源于俄罗斯数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）。

一、核心定义与类型切比雪夫多项式主要分为两类：

第一类切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials of the First Kind）：通常记为 ( T_n(x) )。它们在区间 ([-1, 1]) 上关于权函数 (frac{1}{sqrt{1-x}}) 正交。其显式定义为： $$ T_n(x) = cos(n arccos x) $$ 或由递推关系定义： $$ T_0(x) = 1 T1(x) = x T{n+1}(x) = 2xTn(x) - T{n-1}(x) $$ 第一类多项式在 ([-1, 1]) 上具有等波纹（equiripple）特性，即所有极值点幅值相等，这使得它们在多项式逼近中能最小化最大误差（极小极大概）。
第二类切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials of the Second Kind）：通常记为 ( U_n(x) )。它们在区间 ([-1, 1]) 上关于权函数 (sqrt{1-x}) 正交。其显式定义为： $$ U_n(x) = frac{sin((n+1)arccos x)}{sqrt{1-x}} $$ 递推关系为： $$ U_0(x) = 1 U1(x) = 2x U{n+1}(x) = 2xUn(x) - U{n-1}(x) $$ 第二类多项式常出现在微分方程求解中。

二、核心特性与应用

正交性（Orthogonality）：两类多项式在特定权函数下构成正交函数系，这是它们在谱方法及数值积分中应用的基础。
极小极大概性质（Minimax Property）：第一类多项式在所有首一（最高次项系数为1）的n次多项式中，在 ([-1, 1]) 区间上具有最小的无穷范数（即最小化最大偏差）。这使其成为函数逼近的理想工具。
递归关系（Recurrence Relation）：两类多项式均满足简单的线性递推关系，便于高效计算。
应用领域：
- 函数逼近：用于构造最优一致逼近多项式。
- 数值分析：作为插值节点（切比雪夫节点）可减少龙格现象。
- 滤波器设计：在电子工程中设计具有等波纹特性的切比雪夫滤波器（I型通带等波纹，II型阻带等波纹）。
- 微分方程求解：作为某些微分方程（如切比雪夫微分方程）的解。
- 天体力学与统计：解决三体问题及在统计学中也有应用。

三、汉英术语对照

切比雪夫多项式：Chebyshev Polynomials
第一类切比雪夫多项式：Chebyshev Polynomials of the First Kind ((T_n(x)))
第二类切比雪夫多项式：Chebyshev Polynomials of the Second Kind ((U_n(x)))
正交性：Orthogonality
递推关系：Recurrence Relation
极小极大概：Minimax Property / Minimax Approximation
等波纹：Equiripple
权函数：Weight Function

权威参考来源：

MathWorld (Wolfram Research)：提供严谨的数学定义、性质及公式推导。来源：Weisstein, Eric W. "Chebyshev Polynomial of the First Kind." MathWorld.
DLMF (Digital Library of Mathematical Functions, NIST)：美国国家标准与技术研究院维护的数学函数数字图书馆，包含标准定义和性质。来源：Olver, F. W. J., et al. (Eds.). Digital Library of Mathematical Functions.
《数学手册》高等教育出版社：中文权威数学工具书，涵盖定义、性质及经典应用。来源：数学手册编写组. 《数学手册》. 高等教育出版社.
IEEE Xplore (工程应用)：收录大量关于切比雪夫多项式在滤波器设计、信号处理中应用的工程论文。来源：相关工程领域期刊文献（如IEEE Transactions on Signal Processing）。

网络扩展解释

切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是数学中一类重要的正交多项式，由俄国数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）提出，主要应用于数值分析、逼近理论和工程领域。以下是其核心内容的详细解释：

1. 基本定义与分类

切比雪夫多项式分为第一类（记作 ( T_n(x) )）和第二类（记作 ( U_n(x) )），两者均通过递推关系定义，但应用场景不同：

第一类：常用于极小化极差问题（如多项式插值），其三角定义为： [ T_n(costheta) = cos(ntheta) ]
第二类：与第一类相关，但更适用于积分和微分方程，定义为： [ U_n(costheta) = frac{sin((n+1)theta)}{sintheta} ]

2. 递推关系与显式表达式

两类多项式均满足递推公式： [ begin{cases} T_0(x) = 1, quad T1(x) = x T{n+1}(x) = 2xTn(x) - T{n-1}(x) end{cases} ] [ begin{cases} U_0(x) = 1, quad U1(x) = 2x U{n+1}(x) = 2xUn(x) - U{n-1}(x) end{cases} ] 例如：

( T_2(x) = 2x - 1 )
( T_3(x) = 4x - 3x )

3. 正交性与权重函数

两类多项式在区间 ([-1, 1]) 上具有正交性：

第一类：权重函数为 ( frac{1}{sqrt{1-x}} )，满足： [ int_{-1} frac{T_m(x)T_n(x)}{sqrt{1-x}} , dx = begin{cases} 0 & m eq n pi & m = n = 0 pi/2 & m = n eq 0 end{cases} ]
第二类：权重函数为 ( sqrt{1-x} )，正交性类似。

4. 核心性质

极小化极差：在区间 ([-1, 1]) 上，( T_n(x) ) 是所有首项系数为1的n次多项式中，最大绝对值最小的（极差最小）。
零点分布：( T_n(x) ) 的零点（切比雪夫节点）为 ( cosleft(frac{(2k-1)pi}{2n}right) )，在插值中可减少龙格现象。
等波纹特性：在通带或阻带内呈现均匀波动，应用于滤波器设计（如切比雪夫滤波器）。

5. 应用领域

数值分析：用于多项式逼近、数值积分和微分方程求解。
信号处理：设计切比雪夫滤波器，平衡通带波纹与阻带衰减。
优化问题：在控制理论和近似理论中解决极值问题。
计算机图形学：曲线拟合与参数化。

切比雪夫多项式通过递推生成，兼具正交性和极值优化特性，是连接纯数学与工程应用的重要工具。其核心价值在于以最简形式实现复杂问题的近似与优化。